镜像电荷

镜像电荷(英文名:Image charge)是指研究导体(或半导体)感应电荷电场分布时引入的等效电荷。等效电荷与源电荷的关系类似于图像与物体的关系。19世纪中期，英国物理学家威廉·汤姆孙(Lord Kelvin)提出了固体导电理论，并将镜像法和电力线的概念引入到静电中，而镜像法则引入了镜像电荷的相关概念。

镜像电荷法的有效性是基于唯一性定理的推论，该定理指出当整个区域的电荷密度和所有边界上的电势值都已指定时，体积V中的电势是唯一确定的。将这一推论应用于高斯定律的微分形式表明，在一个被导体包围并含有指定电荷密度ρ的体积V中，只要给定每个导体上的总电荷，电场就是唯一确定的。如果已知电势或电场，已知相应的边界条件，则所考虑的电荷分布可以用更容易分析的形式代替，只要满足研究区域的泊松方程，并在边界处取正确值即可。镜像法可以用来求解静电场的边值问题。它的基本原理是去掉边界条件，把一些等效的镜像电荷放在要求解的场之外，从而把有边界的边值问题转化为无边界的问题。

镜像电荷法的有效性是基于唯一性定理的推论，该定理指出当整个区域的电荷密度和所有边界上的电势值都已指定时，体积V中的电势是唯一确定的。将这一推论应用于高斯定律的微分形式表明，在一个被导体包围并含有指定电荷密度ρ的体积V中，只要给定每个导体上的总电荷，电场就是唯一确定的。

如果已知电势或电场，已知相应的边界条件，则所考虑的电荷分布可以用更容易分析的形式代替，只要满足研究区域的泊松方程，并在边界处取正确值即可。镜像电荷可以用来解决静电场的边值问题。其基本原理是去掉边界，在不改变场内电荷的情况下，将一些等效的镜像电荷放在待求解场外的适当位置，从而将有边界的边值问题的求解转化为无边界问题的求解。基于唯一性定理，待求解区域内某一点边界上的原电荷和感生表面电荷的电势可以用原电荷和镜像电荷在该点产生的电势的叠加来代替，即该方法得到的场解是唯一解。

选择镜像电荷应注意的问题:镜像电荷必须位于要求解的场的边界之外；将有边界的非均匀空间作为无限均匀空间处理，在这个均匀空间中的介质特性与待求解领域中的介质特性一致；镜像电荷(或电流)与实际电荷(或电流)共同作用，保持原来的边界条件不变。

点电荷对无限大接地导体平面的镜像对称分布；点电荷是半无限接地导体角域的镜像，角边界由两个半无限接地导体平面构成。当包含角度时，角域中的点电荷将具有镜像电荷。

唯一性定理

唯一性定理对于一系列分别具有电势的导体组成的系统，假设存在一个解是有效的，并且这个解一定是唯一的。假设有另一个函数也适用于同一边值条件的解。现在拉普拉斯方程是线性的，即和满足公式，所以要么这两个解的任意线性组合满足公式，公式中的和是常数。特别地，两个解之间的差也必须满足公式(1)，并且这个差被称为:

当然，边界条件不满足。事实上，每个导体的表面都是零，因为sum在导体的表面上具有相同的值。所以，它是另一个静电问题的解，也就是这种导体相同，所有导体电势为零的系统的解。

高斯定理

高斯定理通过任意封闭曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷和电量除以它的代数和，不考虑封闭曲面外的电荷。对于一系列给定边界条件的导体，镜像电荷是计算其周围电场的一种有用方法。在给定点电荷和无限大导体平面的情况下，镜像电荷位于平面的另一侧，离平面的距离等于离平面的距离。根据高斯定理，平面上的总电荷为0。