​不动点定理

不动点定理是拓扑学中一个非常重要的不动点定理，它可以应用于有限维空间，构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔 的不动点定理是以荷兰数学家鲁伊斯的名字命名的·布劳威尔（英语：L. E. J. 布劳威尔）。

不动点定理

布劳威尔 s不动点定理：对于拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。最简单的习艺所形式的不动点定理是针对从圆盘D射向自身的函数F。更一般的定理适用于从欧几里得空间的凸紧子集投影到自身的所有函数。

如果f 是n 1维实心球Bn 1={x∈R n 1|x|≤1}连续映射到自身（n=1，2，3…那么f 有一个不动点x∈Bn 1（即满足f（x0）=x0）此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明了这一点。不动点问题其实就是各种方程（如代数方程、微分方程、积分方程等）它在数学中非常重要，有很多实际应用。

布劳威尔 的建立不动点定理是他的杰出贡献．这个定理表明：在二维球面上，任何到其自身的一对一连续映射必须至少有一个不变点．他把这个定理推广到高维球面．特别地，在N维球面中任何映射到自身的连续映射至少有一个不动点．在定理证明过程中，他引入了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他可以第一次处理流形上向量场的奇异性．

康托尔揭示了n与空间Rn之间不同的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)然后将单位线段连续映射成正方形．这两个发现表明，在拓扑映射中，维数可能是常数．1910年，Brouwer证明了这个猜想对于任意n的——维的拓扑不变性．在证明过程中，Brouwer创造了连续拓扑映射的简单逼近的概念，即一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的概念，——，一些同伦类依赖于拓扑映射的连续变换．实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，Brouwer用它来定义N维区域；J．W．亚历山大(亚历山大)用来证明贝蒂数的不变性．这些都是不动点定理的推广。

不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分，对这个问题的研究一直在偏微分方程中进行、控制论、经济平衡理论和对策理论已经成功地应用于许多领域。本文首先综合了前人文献中不动点定理的一些等价形式，然后在h-在空间中建立了一个新的不动点定理、截口定理及应用。全文共分为三章：第一章简要介绍了本文将用到的凸分析拓扑空间和集值映射的概念和性质。第二章综合了不动点定理的一些等价形式。首先，Brouwer 的不动点定理，然后通过一系列的证明得到了不动点定理的一些等价形式：Brouwer不动点定理(KKM定理(FKKM定理(Ky Fan极大极小不等式(白劳德不动点定理(Ky Fan范不等式ⅰ(Ky Fan极大极小不等式的几何形式(Ky Fan范截口定理(Fan-白劳德不动点定理(Ky Fan范不等式ⅱ。第三章首先介绍了h-太空中的一些重要概念。其次，在H-一个新的粉丝已经在空间里建立起来了-白劳德型不动点定理及其等价形式。

布劳威尔 s不动点定理是代数拓扑学的早期成果，是更一般的不动点定理的基础，在泛函分析中尤为重要。1904年，Piers Bohl 首先证明了n = 3 的情况（发表于《纯綷及应用数学期刊》）然后在1909年，鲁伊斯·布劳威尔（L. E. J. 布劳威尔）再次证明。1910年，雅克·阿达玛提供了一般情况的证明，而布劳威尔在1912年提出了不同的证明。这些早期证明属于非结构性间接证明，与数学直觉主义的理想相矛盾。

这个定理可以通过非常实际的例子来理解。比如：拿两张同样大小的白纸，在上面画一个纵坐标系统和纵横方格。将一张纸平放在桌面上，将另一张纸随意揉成一个形状（但不能撕裂），在第一张白纸上，没有超出第一张的界限。那么第二张纸上一定有一个点正好在第一张纸上对应点的上方。更简单的说法是：将一张白纸平铺在桌上，揉成一团（不撕裂）把它放在原来白纸所在的地方，这样只要没有超出原来白纸平放时的边界，那么白纸上就一定有没有水平移动的东西。

这一论断是基于Brouwer 二维欧氏空间中的s不动点定理（欧几里得平面）因为揉皱纸张是一个持续的转变过程。

再比如在大商场等地方可以看到的平面地图，标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是将实际地形投影到地图上的连续函数的不动点。

地球绕着它的旋转轴旋转。旋转轴在旋转过程中是不变的，即旋转运动的定点。

克纳斯特-塔斯基定理（Knaster–塔尔斯基定理）在数学的场序论和格论中，克纳斯特-塔斯基定理，以克纳斯特命名（Bronis?awKnaster）和阿尔弗雷德·塔斯基（阿尔弗莱德塔尔斯基），它声称：设L是完备格，设f:L→L是保序函数。那么L中F的不动点集也是完备格。因为一个完备的格不可能是空的，这个定义特别保证了F的至少一个不动点的存在，甚至是一个“最小”或“最大”不动点的存在。在许多实际情况下，这是这个定理最重要的含义。

λ演算（lambdacalculus）是研究函数的一套定义、函数应用与递归形式系统。它由丘奇（阿龙佐丘奇）和他的学生克莱尼（StephenColeKleene）于20世纪30年代推出。丘奇在1936年用λ微积分给出了一个决定性的问题（Entscheidungsproblem）对的否定回答。这个微积分可以用来明确定义什么是可计算函数。关于两个lambda演算表达式是否等价的命题不要超过一个“通用的算法”要解决这个问题，这是不确定性可以证明的第一个问题，甚至先于停机问题。Lambda演算对函数式编程语言影响很大，比如Lisp语言、ML语言和Haskell语言。Lambda演算堪称最小的通用编程语言。它包括一个转换规则（变量替换）和函数定义Lambda演算的通用性在于，任何可计算的函数都可以用这种形式表示和求值。因此，它相当于图灵机。尽管如此，Lambda演算强调转换规则的应用，而不是实现它们的特定机器。可以认为是一种更接近软件而不是硬件的方式。

邱奇-图灵论题（教堂-Turingthesis）Allonzot，计算机科学领域的数学家·邱奇（阿龙佐丘奇）和阿兰·图灵命名的论题。这个题目最基本的观点是，所有的计算或算法都可以用图灵机来执行。用任何常规编程语言编写的计算机程序都可以被翻译成图灵机，反之亦然所以这个题目相当于下面的语句：传统的编程语言足以有效地表达任何算法。这个命题一般被假设为真，也被称为丘奇命题或丘奇猜想和图灵命题。

克莱因不动点定理（面巾纸-点定理）在数学方面，克莱尼的秩序论（Kleene）不动点定理声称给定任何完备格L和任何连续格L，（因此单调的）函数

f:L→L

f的最小不动点（lfp）是f的上升克莱尼链的最小上界